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2016年版7月22日は円周率近似値の日。円周率の求め方や近似値の種類を紹介

公開日: : はやりもの


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こんにちは、ヒロです。
7月22日は円周率近似の日らしいです。円周率の日じゃなくて円周率近似の日ってところが意味ありげですよね。
せっかくなのでどんな近似値が存在するのか見て行きましょう

円周率近似値の日とは?

ヨーロッパでは7月22日を22/7のように表現し、これを分数(7分の22)とみなすと、アルキメデスが求めた円周率の近似値22/7になることから。
wikipedia – 円周率の日
円周率の日 3月14日

円周率近似値とは?

円周率とは?

円周率とは、円の長さを円の直径で割った値である。
つまり円周率がわかれば、円の直径から円の長さを知ることが出来る。
しかし、円周率は、無限小数なので気軽に表すことが出来ない。
なのでπを用いたり、近似値3.14を用いたりする事で計算を用いるが、逆に言うと正確な円の長さを測ることは出来ない。と言うよりは、簡単な数字で表すことは出来ない。なので簡単な近似値を用いて計算をすることになった。

円周率の近似値の種類

分数で表す近似値


3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/3312, 104348/33215,
208341/66317, 312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913,
1285290289249/409120605684

これらの分数は割り切れないがだからこそ円周率の近似値が出る

いろんな円周率近似値

π(1)==3.162… [JB01] π(1)==3.125 [JB02] 古代バビロニアで使われていた
π(1)=(16/9)2=3.1604… [JB02] 古代エジプトの値
π(2)=+=3.1462… [FB02] π(2)==3.1428… [JB01] π(2)==3.1408… [JB01] π(3)==3.14166… [JB02] π(3)=(2e3+e8)1/7=3.14171… [JB02][FB02] π(3)=3+=3.14142… [FB02] π(3)=φ2=3.14164… [FB02] π(4)==3.141509… [JB03] π(4)=2=3.141529… [JB02] π(4)==3.141533… [FB02] π(4)=2+=3.141586… [JB03] π(4)==3.141587… [FB02] π(4)= = 3.1415726535897952384626423832795041… [FB02] π(5)= = 3.14159065358979324046264338326950288419729… [JB02] π(6)= = 3.141592453589793238464643383279502784197169399387…
π(6)=2=3.14159245… [JB02] π(6)= ln = 3.14159259… [FB02] π(6)= = 3.14159292… [JB01] π(6)=-1 = 3.14159259… [FB01] π(6)=1.09999901×1.19999911×1.39999931×1.69999961=3.14159257… [JB02][FB02] π(7)=2+=3.141592649… [JB02][FB02] π(8)=1/5=3.1415926541… [JB02][JB03][FB02] π(8)=ln(5280) = 3.1415926529… [FB02] π(9)= = 3.14159265380… [JB03] π(9)= = 3.14159265301… [JB02] π(9)=ln - 2×4=3.14159265374… (ただし x=・)[FB02] π(10)=95+ 1/4 = 3.141592653590… [FB02] π(11)= = 3.1415926535881… [FB02] π(13)=100 - 1/4 = 3.141592653589780… [FB02] π(13)= ・ ・ =3.141592653589769… [FB02] π(25)= [FB02] π(80)= ln(2 d e f g) [FB02] D=(1071+184)/2,E=(1533+266)/2,F=429+304,G=(627+442)/2 で
d=D+,e=E+,f=F+,g=G+
π(>18000) = 2 [FB02] π(>4.20×1010) = e-n2/1010 2 [JB02][FB02] 最後の 2 式は出典元となる論文[FT07]では同じ数式に異なる値を代入して作り上げている. これを利用し,同じような値を代入することでより近い近似式を簡単に作ることはできるが,式として意味が無いのでここでは省略する.
Ramanujan による近似式
Ramanujan が発表した近似式はとても多いので以下に纏める
π(2)= = 3.1444… [FB02] π(3)=+ = 3.14164… [JB02] π(3)= = 3.14182… [FB02] π(3)= 1+ = 3.14162… [FB02] π(5)= = 3.1415935… [FB02] π(6)= = 3.14159274… [FB02] π(7)= = 3.141592632… [FB02] π(8)=102-1/4 [JB02] = [FB02] = 3.1415926525…
π(8)= ln 396 = 3.1415926541… [FB02] π(9)= = 3.14159265380… [JB02] π(9)==3.14159265363… [FB02] π(9)= ln = 3.14159265346… [FB02] π(14)= 1- = 3.1415926535897943… [JB02] π(15)= ln + [FB02] π(18)= ln ((2+)(3+)) [FB02] π(22)= ln (3+)(2+) (5+2) [FB02] π(31)= ln 3 (5+11) + 6 [FB02]

円周率の求め方


小学生で学習する円周率

この円周率というのは、
円周の、直径に対する比
のことを表しています。

要約すると、直径の何倍が円周なのか、
ということですね。

だけど、この円周率というのは、いったい
どのようにして求められているものなのか、
疑問に感じている小学生の子供たちも
大勢いますよね。

子供に求め方を教えてほしいと言われて、
困ってしまった経験のある親御さんも
多いのではないでしょうか?

そこで、今日は、
小学生にも理解しやすい円周率の求め方
をご紹介します。


円周率を求める式はいっぱい!


現在、小学校の授業で使われる円周率は、
3.14という数字が用いられています。

ですが、円周率は決して3.14で終わりではなく、
永遠のように循環せずに続く無理数であり、
超越数でもあります。

そんな円周率を求める式というのは、
かなりたくさんあり、
古代から様々な方法で求められてきました。

たとえば、アルキメデスは
円に内接・外接する正多角形を作り、
その周の長さを計算するという方法を行いました。

この方法は、現在では、コンピューターで
行うことができるようになっており、一瞬にして
かなりの桁数を計算できるようになっています。

また、テイラー級数展開というものもあり、
これは円周率πを表す単純な式で、

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11・・・
と、無限に続いていく内容となっています。

これら以外にも、
円周率を求める公式は多数発表されており、
また、そのどれをもってしても、
最後まで円周率を求めることはできません。

このような式や理論を言葉で聞いてみても、
円周率の3.14・・・という数字が、
どのようにして求められているのかは、
大人でも理解しにくいですね。


実際に測ってみよう!


小学生にも理解しやすいように
円周率の求め方を教えるには、
原始的な方法を用いるのが、
最もよい方法だといえます。

その原始的な方法というのは、
実際に円周を測ってみるという方法です。

段ボールや厚紙など、
しっかりした紙を使って、
円を1つ作ります。

コンパスなどで計測して、
正確な直径の分かる円を描き、
切り取りましょう。

そして、長さの分かる直線を1本引いておきます。
その直線の上で、円を転がしてみましょう。
すると、その円の周囲の長さが分かります。

円周率を求める、最も簡単な式は、

円周率 = 円周 ÷ 直径
です。

円周率というのは、
直径の長さを何倍すると円周の長さになるか
という数字ですから、

この公式を当てはめると
求められるということが分かりますね。

実際に計測した円周を直径で割ってみると、
小学校で習う3.14という数字に
近い数字が出ることが分かります。

もちろん、計測の際や切り取る際などに
多少の誤差は出ますので、完全に正確な
数字が出るというわけではありません。

ですが、それでも、
なんとなく理論を理解するのには
大いに役立つ方法ですね。

実験の要素を加えて、
円周率の求め方を説明すると、
小学生にも理解しやすく、しかも、
楽しみながら求めることができますね。


円周率の求め方は式では理解しづらい!


様々な公式がある円周率の求め方ですが、

その公式を当てはめることに、
どのような意味があるのか?

など、深く追求すればするほど、
こんがらがってしまいますよね。

円周率の求め方を説明するのに、
有名な科学者が考え出した公式を当てはめても、
おそらく、多くの小学生には理解が難しいでしょう。

円周率の求め方を理解するのに役立つのは、
図解による説明や、実際に測るといった
原始的な方法です。

たとえば、円を描いて、
その円の内側と外側に接する多角形を描き、
アルキメデスによる求め方を説明してみても
良いですね。

多角形の辺の長さから
円周をある程度割り出すことができます。

その円周の長さから、
円周率を求めるのがアルキメデスの方法です。

この図による説明と、
実際に円周を計測する方法を組み合わせてみると、
かなり理解が深まるでしょう。

円周率についてのまとめ


円周率の求め方というのは、
大人からしても、なかなか難しい問題です。

子供に尋ねられた時には、
一緒に実験したり、図に描いてみたりしながら、
お互いに理解を深められると良いですね!

まとめ

円周率を最初に習った時に初めて無限小数の存在を知り、なんで無限に続くんだろうとなんかモヤモヤした気持ちになったもんです(⌒-⌒; )
それを無理矢理解消したのが近似値ですが、一般的には3.14、ゆとり世代は3?ですが、もっと精度良くするなら、分数近似を使うといいと思います。今は計算機やパソコンも発達してるのでそのまま計算出来るかもしれませんが手計算することもあるかもしれません。もしくは計算機に円周率が無い物を使う時、分数近似があればかなり精度良く計算出来ると思うので是非覚えていてはいかがでしょうか?



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